今天算是为很久之前产生的几个问题画上一个句号，之前一直没好好思考过这几个问题。
最初产生这个疑惑是某次讨论班讲spartan的时候，有同学提出为什么offline memory checking的压缩要引入两个随机数，为什么常数项也要有一个随机数，当时第一反应是和univariate sumcheck的某一个攻击有关，但是由于当时脑子十分模糊，所以也并没有进行深入思考。后来又遇见了GKR中的claim compression，也是随机数的问题，导致大脑习惯性回避（（（此处要感谢lou同学提出了这个问题，让我主动思考辨析了一下。
Univariate sumcheck
首先先讨论一下univariate sumcheck，这也是我学zk最先接触的一个协议，因为读的第一篇论文是Marlin
Univariate sumcheck用到的一个最主要的lemma是，对于一个multiplicative subgroup $|\mathbb{H} |=n$，多项式$g(X) \in \mathbb{F}_{\leq n}[X]$
之后在做$f(X) \in \mathbb{F}[X]$时，有
为什么要写作$X\cdot g(X)$呢？
如果不写作$X\cdot g(X)$，坏人🦹就可以在$g(X)$的常数项引入一些东西，使得最终证明出来的sum是malicious prover想要的那个，详见https://wanglizheng.com/2025/09/22/A-Summary-of-the-Sumcheck-Protocol/
Offline Memory Checking
接下来简单讨论一下Offline Memory Checking，其中主要涉及的就是
Claim 1 ([STW23] Randomized Permutation Check). Let $A$ and $B$ be two multisets of tuples in $\mathbb{F}^3$. Define
之前一直不理解，为什么要引入两个变量$\gamma,\tau$，还以为$\tau$的作用是和univariate sumcheck中的价值差不多，今天突发奇想思考了一下
$\gamma$的作用是用来将三个不同的元素压缩到一个元素$a \cdot \gamma^2+v \cdot \gamma+t$
$\tau$的作用是来做multiset equality check，如果去掉$\tau$，其实就相当于验证multiset equality check的随机点是0，很容易针对性的构造攻击。
GKR
其实GKR里面在做层间的reduction的时候，会从一个点规约到两个点的evalution，为了解决这个问题，常用的方法是利用random linear combination，转化为$\alpha \tilde{V}_{i-1}(u) + \beta \tilde{V}_{i-1}(v)$，但是其实这里只要一个随机数就够了。